[Remue-Méninges] Problèmes chiffrés - Page 9 - Baldur's Gate et Dragon Age

Saiko, Membre des Guildes de Manost · 16/10/2007, 15h39

Je propose ceci, mais je le mets même pas en Spoiler tellement c'est du gros...

La probabilité qu'un nombre N soit retenu consiste en deux étapes.

1. Que N apparaisse au moins une fois dans le tirage. Une chance sur 100 au premier tirage, ce qui joue le tour. Et si jamais ça n'a pas marché au premier tour alors on remet ça au deuxième tour. Si on fait un "arbre" des probabilité (4 branches à la fin seulement), on calcule rapidement que la probabilité que N soit tiré est de 199/10 000.

2. Que N soit plus petit ou égal que l'autre nombre M. Si on trace sur un axe des abscisses le nombre M et sur un axe des ordonnées le nombre N et qu'on colorie la zone plan où N est plus petit que M, alors on obtient un demi carré, ce qui signifie que la probabilité que M<N est de 0.5

Au final, P(N) = 199 / 10 000 * 0.5 = 0.00995 = env. 0.01

Voilà, je viens tout juste de vous démontrer que la probabilité qu'un nombre entre 1 et 100 sorte est de 1/100

*salue la foule en délire et se retire méditer sur son sort*

Saiko, Membre des Guildes de Manost · 25/10/2007, 13h37

Alors je trouve le même résultat qu'Agifem, mais avec la démonstration (vive les amphis d'automation).

Cliquer ici pour révéler le texte

Voyageuse · 25/10/2007, 14h35

Je fais une allergie aux démos de stats (j'ai découvert ce domaine seulement en passant mon CAPES et ça m'a pas enthousiasmée), donc j'ai tendance à résoudre tous les problèmes simplement en dénombrant...

Cliquer ici pour révéler le texte

Ca ne vaut sans doute pas une démonstration, mais au moins j'y comprends quelque chose...

Edit : c'est bizarre, j'ai pas exactement le même résultat que les autres... à 35/100 près, c'est pas grand-chose...

Saiko, Membre des Guildes de Manost · 26/10/2007, 08h06

coucou Voyageuse, belle démonstration aussi

surement plus simple à comprendre. La raison pour laquelle tu ne trouves pas tout à fait comme moi c'est que nous on a arrondi :P

bazbazbin · 30/10/2007, 00h35

bravo bravo !!!

Agifem moyen parcequ'il n'a pas donné de démonstration

Voyageuse et Saiko, la grande classe (mais Saiko a trouvé avant

).

Je reposterai si j'en trouve un autre un jour.

16/10/2007, 15h39	#201
Saiko, Membre des Guildes de Manost Troll Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Lyon - Chamonix Messages: 1 389	Re : [Remue-Méninges] Problèmes chiffrés Je propose ceci, mais je le mets même pas en Spoiler tellement c'est du gros... La probabilité qu'un nombre N soit retenu consiste en deux étapes. 1. Que N apparaisse au moins une fois dans le tirage. Une chance sur 100 au premier tirage, ce qui joue le tour. Et si jamais ça n'a pas marché au premier tour alors on remet ça au deuxième tour. Si on fait un "arbre" des probabilité (4 branches à la fin seulement), on calcule rapidement que la probabilité que N soit tiré est de 199/10 000. 2. Que N soit plus petit ou égal que l'autre nombre M. Si on trace sur un axe des abscisses le nombre M et sur un axe des ordonnées le nombre N et qu'on colorie la zone plan où N est plus petit que M, alors on obtient un demi carré, ce qui signifie que la probabilité que M<N est de 0.5 Au final, P(N) = 199 / 10 000 * 0.5 = 0.00995 = env. 0.01 Voilà, je viens tout juste de vous démontrer que la probabilité qu'un nombre entre 1 et 100 sorte est de 1/100 salue la foule en délire et se retire méditer sur son sort __________________ Il n'y a ni bien ni mal, ni honneur ni amour, ordre et chaos sont les seules polarités de notre univers.

25/10/2007, 13h37	#202
Saiko, Membre des Guildes de Manost Troll Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Lyon - Chamonix Messages: 1 389	Re : [Remue-Méninges] Problèmes chiffrés Alors je trouve le même résultat qu'Agifem, mais avec la démonstration (vive les amphis d'automation). Cliquer ici pour révéler le texte La moyenne est égale à la somme des possibilités par leur probabilité : MOYENNE = SOMME ( nP(n)) Or, pour qu'un nombre n sorte, il faut soit qu'il sorte au premier tirage en étant plus petit que le deuxième, soit qu'il sorte au deuxième tirage en étant plus petit que le premier (vous me suivez toujours :P ?) On écrit ça comme ça : P(n) = P[(X1 = n ^ X1=<X2) U (X2 = n ^ X2=<X1)] (^ est l'intersection de deux ensembles et =< est le symbole pour "inférieur ou égal") Ce qui est équivalent comme on nous l'apprend au collège à : P(n) = P(X1 = n ^ X1=<X2) + P(X2 = n ^ X2=<X1) - P[(X1 = n ^ X1=<X2) U (X2 = n ^ X2=<X1)] Si on réfléchit bien sur le dernier terme de la somme, on se rend compte qu'il est équivalent à P(X1 = X2) = P(X1=n ^ X2=n) = P(X1=n)P(X2=n) =' 1/100 * 1/100 = 1/10 000 ' parce que les évènements sont indépendants On peut aussi se rendre compte que les deux premiers termes sont en fait identiques donc on peut écrire : P(n) = 2 * P(X1 = n ^ X1=<X2) - 1/10 000 En réflechissant sur un schéma pris avec 3 au lieu de 100, on remarque que : P(X1 = n ^ X1=<X2) = 1/N * (N+1-n)/N = (N+1-n) / N² ou N=le nombre de possibilités (100 dans notre cas) Donc on a P(n) = 2(N+1-n)/N² - 1/N² = (2N+1-2n)/N² On revient sur notre formulation de la moyenne : MOYENNE = Somme (nP(n)) = Somme (2Nn + n - 2n²)/N² = 1/N² * [(2N+1)Somme(n) - 2Somme(n²)] La somme des 100 premiers nombres égale 5050 La somme des 100 premiers carrés égale 338350 donc MOYENNE = 1/10 000 * (2015050 + 2338350) = 33.8 CQFD ! __________________ Il n'y a ni bien ni mal, ni honneur ni amour, ordre et chaos sont les seules polarités de notre univers.

25/10/2007, 14h35	#203
Voyageuse Loup Noir Date d'inscription: octobre 2006 Localisation: Rhône-Alpes Messages: 280	Re : [Remue-Méninges] Problèmes chiffrés Je fais une allergie aux démos de stats (j'ai découvert ce domaine seulement en passant mon CAPES et ça m'a pas enthousiasmée), donc j'ai tendance à résoudre tous les problèmes simplement en dénombrant... Cliquer ici pour révéler le texte les couples de nombres tirés vont de (1;1), (1;2),.... jusqu'à (100;99), (100;100). Il y a donc 10000 tirages possibles. Pour chaque tirage on prend le plus petit des deux nombres. Combien de tirages donneront 1? il s'agit des couples : (1;1), (1;2), (1;3)...(1;100), mais aussi (2;1), (3;1),... (100;1), il y en a donc : 100 + 99 = 199 Combien de tirages donneront 2? il s'agit de : (2;1), (2;2)... (2;100) et aussi (3;2), (4;2),... (100;2), il y en a donc : 99 + 98 = 197 Etc : il y aura 195 couples dont le plus petit nombre est 3,... Si on veut une formule, par itération : il y a 199 - (n-1)2 couples dont le résultat sera n A la fin : 5 couples dont le min est 98, 3 couples pour 99, et 1 seul tirage pour 100. Bref, il faut calculer une "espérance de gain", en somme... On calcule : 1199 + 2197 + 3195 + 993 + 1001, et on divise par le nombre de tirage, soit 10000 J'ai un peu la flemme de considérer ça comme des suites ou des séries : la somme, pour n allant de 1 à 100, de n(199-(n-1)2), c'est un peu compliqué... Je prends donc mon tableur préféré, et en un rien de temps il me donne le résultat : La moyenne obtenue est : 33,835 Ca ne vaut sans doute pas une démonstration, mais au moins j'y comprends quelque chose... Edit : c'est bizarre, j'ai pas exactement le même résultat que les autres... à 35/100 près, c'est pas grand-chose... Dernière modification par Voyageuse ; 25/10/2007 à 14h39.

26/10/2007, 08h06	#204
Saiko, Membre des Guildes de Manost Troll Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Lyon - Chamonix Messages: 1 389	Re : [Remue-Méninges] Problèmes chiffrés coucou Voyageuse, belle démonstration aussi surement plus simple à comprendre. La raison pour laquelle tu ne trouves pas tout à fait comme moi c'est que nous on a arrondi :P __________________ Il n'y a ni bien ni mal, ni honneur ni amour, ordre et chaos sont les seules polarités de notre univers.

30/10/2007, 00h35	#205
bazbazbin Commando Kobold Date d'inscription: juin 2007 Messages: 22	Re : [Remue-Méninges] Problèmes chiffrés bravo bravo !!! Agifem moyen parcequ'il n'a pas donné de démonstration Voyageuse et Saiko, la grande classe (mais Saiko a trouvé avant). Je reposterai si j'en trouve un autre un jour.

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